tanx的导数是(secx)^2，即正切的导数是正割的平方。我们可以尝试用导数的定义公式来求，也可以借用商的求导公式来求这个导数。
先试试用导数的定义公式f'(x)=lim(h->0) ((f(x+h)-f(x))/h)，因此(tanx)'=lim(h->0) ((tan(x+h)-tanx)/h)=lim(h->0)(((tanx+tanh)/(1-tanxtanh)-tanx)/h)=lim(h->0)(((tanx+tanh)-(tanx-(tanx)^2tanh))/(h(1-tanxtanh)))=lim(h->0)(((tanh+(tanx)^2tanh))/(h(1-tanxtanh))). 这里要应用lim(h->0)(tanh/h)=1，可以得到(tanx)'=lim(h->0)((1+(tanx)^2)/(1-tanxtanh))=1+(tanx)^2=(secx)^2。
以上就是利用导数的定义公式求正切的导函数的过程，相对比较繁，所以一般不会用这种方法去推出tanx的导数，而是利用商的求导公式来求这个导函数。
商的导数公式是：当函数u(x)和v(x)都可导，且v(x)不等于0时，导数(u(x)/v(x))'=(u'(x)v(x)-v'(x)u(x))/(u(x))^2。即分数（即商）的导数，分母的平方做导数的分母，分子的导数乘以分母减去分母的导数乘分子做导数的分子。
因为tanx=sinx/cosx，符合商的概念，因此tanx的导数就是求正弦和余弦的商的导数。分母cosx的平方做导数的分母，分子sinx的导数cosx乘以分母cosx，即cosx的平方，减去分母cosx的导数-sinx乘分子sinx，即减去-sinx的平方，做导数的分子。分子=(cosx)^2-(-(sinx)^2)=(cosx)^2+(sinx)^2=1. 因此tanx的导数等于1/(cosx)^2=(secx)^2.
显然，利用商的导数公式求tanx的导数要更简便，但千万不要因为这样就忽视了第一种方法。学数学，什么方法都要尽量掌握，这就像吃饭一样，不可以挑食，这样才能充分吸收数学的养分。
