数学悖论(数学悖论的例子)

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Q1：数学悖论

笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。 ……参考资料：

Q2：数学悖论的由来是什么？

1919年，著名英国数学家罗素编了一个很有趣的“笑话”。小镇有个爱吹牛的理发师。有一天，理发师夸下海口说：“我给镇上所有不自己刮胡子的人刮胡子，而且只给这样的人刮胡子。”大家听了直发笑。有人问他：“理发师先生，您给不给自己刮胡子呢？”“这，这，……”理发师张口结舌，半晌说不出一句话来。原来，这个爱吹牛的理发师，已经陷入自相矛盾的窘境。如果他给自己刮胡子，那就不符合他声明的前一半，这样，他就不应当给自己刮胡子；但是，如果他不给自己刮胡子，那又不符合他声明的后一半，所以，他又应当给自己刮胡子。无论刮不刮，横竖都不对。像理发师这样在逻辑上自相矛盾的言论，叫做“悖论”。罗素编的这则笑话，就是数学史上著名的“理发师悖论”。理发师的狼狈相是很好笑的，可是，数学家听了却笑不起来，因为他们自己也像那个爱吹牛的理发师一样，陷入了自相矛盾的尴尬境地。实际上，20世纪初期的数学家们，比那个爱吹牛的理发师更狼狈。理发师只要撤消原来的声明，厚起脸皮哈哈一笑，什么事情都没有了；数学家可没有他那样幸运，因为他们遇上了一个无法回避的数学悖论，如果撤消原来的“声明”，那么，现代数学中大部分有价值的知识，也都荡然无存了。这个数学悖论也是罗素提出来的。1902年，罗素从已被人们公认为数学基础理论的 *** 论中，按照数学家们通用的逻辑 *** ，“严格”地构造出这个数学悖论。把它通俗化就是理发师悖论。 *** 论是19世纪末发展起来的一种数学理论，它已迅速深入到数学的每一个角落，直至中学数学课本。它极大地改变了整个数学的面貌。正当数学家们刚刚把数学奠立在 *** 论的基础上时，罗素悖论出现了，它用无可辩驳的事实指出，谁赞成 *** 论，谁将变成一个“爱吹牛的理发师”，从而陷入自相矛盾的窘境。数学家们尴尬万分，如果继续承认 *** 论，那么，号称绝对严密的数学，就会因为罗素悖论这样的怪物而不能自圆其说；如果不承认 *** 论，那么，许许多多重要的数学发明也就不复存在了。罗素悖论震撼了世界数学界，导致了一场涉及数学基础的危机。人们已经发现，在数学这座辉煌大厦的基础部分，存在着一条巨大的裂缝，如不加以修补，整座大厦随时都有倒塌的危险。数学家们勇敢地接受了挑战。他们认真考察了产生罗素悖论的原因。原来，之所以出现罗素悖论这样的怪物，是由于在 *** 论中，“ *** 的 *** ”这句话不能随便说。于是，数学家们开始探索数学结论在什么情况下才具有真理性，数学推理在什么情况下才是有效的……，从而产生了一门新的数学分支——数学基础论。在这个领域里，由于数学家的观点不同，产生了3个著名的学派。以罗素为主要代表的数学家叫逻辑主义学派，他们认为，只要不允许使用“ *** 的 *** ”这种非逻辑语言，罗素悖论就不会发生；以布劳威尔为主要代表的数学家叫直觉主义学派，他们认为，“ *** 的 *** ”是不能用直觉理解的，不承认它的合理性，罗素悖论自然也就不会产生了；以希尔伯特为主要代表的数学家叫 *** 学派，他们认为，悖论是一种不相容的表现。三大学派都提出了修补数学基础的方案，由于各执己见，爆发了一场大论战。这场大论战对现代数学发展影响深远，还导致了许多新的数学分支的诞生。现在，修补数学基础的工作尚未取得令人完全满意的结果，数学家们仍在顽强拼搏。

Q3：有哪些经典的数学悖论和科学悖论

“悖论”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论有三种主要形式。1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。　　悖论是强烈违反我们直觉的问题。在这里，悖论只是直接导致彼此矛盾的结果，就像证明2+2又等于4，又不等于4一样。　　逻辑悖论是“不可解”的，除非能找到一种 *** 来完全消除这种恶性的矛盾。　　尽管从古希腊起到今天，逻辑悖论一直人们带来很大乐趣，可是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。在发展现代逻辑学和 *** 论中一些巨大进展正是努力解决经典悖论的直接结果。克里特人伊壁孟德伊：所有的克里特人都是撒谎者。M：他说的是真的吗？如果他说的是实话，那么克里特人都是撒谎者，而伊壁孟德是克里特人，他必然说了假话。他撒谎了吗？如果他确实撒了谎，那么克里特人就都不是说谎的人，因而伊壁孟德也必然说了真话。他怎么会既撒谎，同时又说真话呢？伊壁孟德是个半传奇式的希腊人，他在公元前6世纪住在希腊。有一个神话说他曾经一下子睡了57年。关于他的上面那段文字，如果我们假定撒谎者总是说假话，不撒谎的人总是说真话，那么就会出现逻辑的矛盾。按此假定，“所有的克里特人都是撒谎者”这句话不可能是真话，因为这说明伊壁孟德既是撒谎的人，因此他说的就不是真话。可是这又意味着克里特人是说真话的，那么伊壁孟德说的话也必定是真话，因此上面引的那句话也不可能是假话。古希腊人曾为此大伤脑筋，怎么会一句话看上去完美无缺，自身没有矛盾，却既是真话又是假话呢！一个斯多噶派哲学家，克利西帕斯写了六篇关于“说谎者悖论”的论文，没有一篇成功。有一位希腊诗人叫菲勒特斯，他的身体十分瘦弱，据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑，他常常担心自己会因思索这些悖论而过早地丧命。在《新约》中，圣·保罗在他给占塔斯的书信中也引述过这段悖论。说谎者悖论M：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是它的最简单的形式。甲：这句话是错的。M：上面这个句子对吗?如果是对的，这句话就是错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。为什么这类悖论采用上述形式表达（即一句话谈的正是它本身）就变得清晰起来？这是因为它消除了说谎者是否总是说谎，不说谎者总是说真话。这一悖论作这类变化是无穷的。例如，罗素曾经说，他相信哲学家乔治·摩尔平生只有一次撒谎，就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想了一会儿，就说：“不是。”再变化一下：这本小书中所有的说明都是可靠的，只有这一节中关于说谎者悖论的评述部分的第三自然段（即现在的这一段）除外。我们还可以作出其他变化吗？柏拉图：下面苏格拉底说的话是假的。苏格拉底：柏拉图说了真话！在一张白卡片的一面写：这张卡片背面的句子是真的。该卡片的背面写的是：这张卡片背面的句子是假的不管你让哪一句话是真的，另一句总与之矛盾。两句话谈的都不是它本身，但放到一起，仍会出现说谎者悖论古希腊人想出了很多关于时间和运动的悖论．基诺悖论是其中最为著名的一个。甲：在我达到终点线之前，我必须经过中点。然后．我必须跑到3/4处，它是剩下距离的—半。甲：而在我跑完最后的1/4这段路之前，我必须跑到这段路的中点。因为这些中点是没有止境的，我将根本不能达到终点。M：假定跑步人每跑一半要一分钟。绘出的时间—距离关系图表明他是如何越来越接近终点，而绝不会达到终点的。他的论据对吗？M：不对，因为跑步人不是每跑半截都用1分钟。每跑一半所花的时间都是前一段时间的一半。他只要两分钟就可以到达终点，只不过他须通过无穷多个中点而已。 M：基诺设计出一条关于阿基里斯的悖论。这个战士想要捉住一公里外的一只海龟。当阿基里斯跑到海龟原来所在点时，海龟已向前爬了10米。但是当阿基里斯跑到10米处时，海龟又爬到前面去了。海龟：你别想抓住我，老朋友。只要你一到我原先所在的地方，我就已经跑到前面一截；了，那怕这个距离比头发丝还小。M：基诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟。他不过是显浅的说明，在把时间和空间看成是由一连串的离散点组成，就像一串念珠前后相连那样时，会引起怎样令人迷惑的结果。理发师悖论　　著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。谁给这位理发师刮脸呢？如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！伯特纳德·罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关于 *** 的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某些 *** 看起来是它自己的元素。例如，所有不是苹果的东西的 *** 、它本身就不是苹果，所以它必然是此 *** 自身的元素。现在来考虑一个由一切不是它本身的元案的 *** 组成的 *** 。这个 *** 是它本身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾。在逻辑学历史上最富戏剧性的危机之一就与这条逆论有关。德国的著名逻辑学家哥特洛伯·弗里兹写完了他最重要的著作《算法基础》第二卷，他认为他在这本书中确立了一套严密的 *** 论，它可作为整个数学的基础。1902年，当该书付印时，他收到了罗索的信，他得知上面那条悖论。弗里兹的 *** 论容许由一切不是它自身的元素的 *** 构成的 *** 。正如罗素在信中澄清的，这个表面上结构完美的 *** 却是自相矛盾的。弗里兹在收到罗素的信后，只来得及插入一个简短的附言：“一个科学家所遇到的最不合心意的事，莫过于是在他的工作即将结束时使其基础崩溃了，我把罗素的来信发表如下……”据说，弗里兹使用的词“不合心意”（undesirable）是数学史上最词不达意的说法了。无穷的倒退问题：鸡和鸡蛋，到底先有哪个？M：先有鸡吗？不，它必须从鸡蛋里孵出来，那末先有鸡蛋？不，它必须由鸡生下。好！你陷入了无穷的倒退之中。鸡和鸡蛋这个古老的问题是逻辑学家称为“无穷倒退”的最普通的例子。老人牌麦片往往装在一个盒中，上面的画是一个老人举着一盒麦片，这个盒上也有一张画有一个老人举着一盒麦片的小画片。自然，那个小盒上又有同样的画片，如此以往就像一个套一个的中国盒子的无穷连环套一样。《科学美国人》1965年4月号有一个封面，画着—个人眼中反映着这本杂志。你可以看到在反映出的杂志上，也有一个小一点的眼睛，反映出一本更小的杂志，自然这样一直小下去。在理发店里，对面的墙上有很多相向的镜子，人们在这些镜子中可以看到反照出的无穷倒退。在幻想作品中有类似的倒退。菲利浦·夸尔斯是阿尔道斯·赫克斯勒的小说《点计数器点》中的人物：他是一个作家，正在写一本小说，是关于一个作家正在写一个作家在写小说的小说……。在安德烈·贾德的小说《伪造品》中，在卡明的剧作《他》中，在诺曼·迈勒的《笔记》这类短篇小说中，都有类似的倒退。乔纳·斯威夫特在一首诗中写了一段关于跳蚤的无穷倒退，数学家奥古斯塔斯·德摩根把它改写为：大跳蚤有小跳蚤，在它们的背上咬，小跳蚤又有小跳蚤，如此下去，没完没了。大跳蚤倒了个儿——变小，上面还有大跳蚤，一个上面有一个，总也找不到，谁的辈数老。在艺术、文学、数学和逻辑方面无穷倒退的更多实例可参见《科学美国人》编的马丁·加德勒的第六本数学游戏。唐·吉诃德悖论小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题：你来这里做什么？如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。一天，有个旅游者回答——旅游者：我来这里是要被绞死。M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。这段绞人的悖论出在《唐·吉诃德》第二卷的第51章。吉诃德的仆人桑乔·潘萨成了一个小岛的统治者，在那里他起誓在这个国家要奉行这条奇怪的关于旅游者的法律。当那个旅游者被带到他面前时，他用慈悲和常识做出了对这个人的裁决。这条悖论实质上和鳄鱼悖论是同样的。旅游者的回答使小岛的君王无法执行这条法律而不自相矛盾。鳄鱼和小孩希腊哲学家喜欢讲一个鳄鱼的故事。一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个小孩。鳄鱼：我会不会吃掉你的孩子？答对了，我就把孩子不加伤害地还给你。母亲：呵、呵！你是要吃掉我的孩子的。鳄鱼：呣……。我怎么办呢？如果我把孩子交还你，你就说错了。我应该吃掉他。鳄鱼碰到了难题。它把孩子既要吃掉，同时又得交还给孩子的母亲。鳄鱼：好了，这样我就不把他交给你了。母亲：可是你必须交给我。如果你吃了我的孩子，我就说对了，你就得把他交回给我。拙劣的鳄鱼懵了，结果把孩子交回了母亲，母亲一把拽住孩子，跑掉了。鳄鱼；他妈的！要是她说我要给回她孩子，我就可美餐一顿了。

Q4：数学悖论有哪些

在世界数学史当中，著名的悖论有伽利略悖论、贝克莱悖论、康德的二律背反、 *** 论悖论等。现代有光速悖论、双生子佯谬、整体性悖论等。这些悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾，从认识论上看则是客观矛盾在思维上的反映。悖论的历史很悠久，但直到本世纪初，人们才真正开始专门研究悖论的本质，以下列举三个著名而有趣的数学悖论。古希腊数学家芝诺提出关于运动的不可分性的哲学悖论被称为芝诺悖论，有个著名的例子。在阿喀琉斯和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！伽利略悖论。伽利略认为，正整数中，有些是偶数，有些不是。因此，他就猜测，正整数一定比偶数多。但是每一个正整数乘以 2 都能得到一个偶数，而每一个偶数除以 2 都能得到一个正整数，那么从无限的数看来，偶数和正整数都是一一对应的，那么，这就说明，在无穷大的世界里，部分可能等于全体。最有趣的就是理发师悖论。在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个 *** ，这个 *** 的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些 *** ，并且城里所有不属于自身的 *** 都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

Q5：悖论的例子

两分法悖论“在你穿过一段距离之前，必先穿过这个距离的一半。”意思是说向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。由此得出的结论就是：运动是不可穷尽的过程，运动永远不可能有开始。阿基里斯追龟 “阿基里斯追不上乌龟”是古希腊的一个哲学故事。阿基里斯是当时的一个善于长跑的人。阿基里斯当然能够追上乌龟，用方程可以来解决。假设阿基里斯的速度为a，乌龟的速度为b，阿基里斯开始追赶乌龟的时候，乌龟在阿基里斯的前面，假设这段距离为c，请问需要多少时间阿基里斯可以追上乌龟。设所需要的时间为x，那么ax=bx+c, x=c/(a-b).由于a b c都是常数，x当然可以求得一个解。当然如果a b 的差如果很小，那么解可以趋于无穷大。但是在这个哲学故事里面和这个问题却毫无关系，在这个故事里面说阿基里斯追不上乌龟是说，不论阿基里斯比乌龟跑得有多快，他都追不上。但是当我们引入无限分割的问题时，马上出现了变化。如果我们故意这样思考：阿基里斯在追赶乌龟的过程中，或者追上乌龟之前，必须先走完乌龟当前已经超过他的距离。（这不是假设，而是确实应该的事情。但是这种思维方式却是假定的，你可以用这样的思维方式，也可以不用。一旦用了这样的思维方式，就会使思维过程没有完结，从而使得阿基里斯追不上乌龟。）按照这种思维方式，当阿基里斯走完乌龟超过他的距离后，乌龟在这段时间里也前进了一段距离，虽然愈来愈小。每次这样的思维，结果都是一样的，在这个过程中，逻辑并没有犯错。我们可以把这样的思考无限循环下去，而且乌龟继续前进的距离永远不会是零，虽然趋向无穷小，那么可以用形式逻辑的 *** ，推出这样的结论：阿基里斯永远追不上乌龟。以上的问题怎么解决呢？或许可以用微积分的 *** 。阿基里斯追不上乌龟的故事中，实际涉及到：对有限空间在有限时间内以无限速度作无限分割。这个分割实际就是无穷小，我们完全可以规定这个无穷小等于0，因此只要出现无穷小的现象或情况，我们就可以认为0要出现，事物的变化就有确定性。或许我们和古人的区别在于，我们认为无穷小是0，而古人认为无穷小是永远不能等于0。古人他们太认真了，他们会想，无穷小仅仅是无穷小，怎么会是0呢，相反它永远也不会是0。实际上无穷小是一个完整的概念，一旦把它有限化，那么它就不是零了。要找到0与非0之间的界限，实际上还是用有限的方式，去思维无限的对象，或者把有限的事物予以无限化。飞矢不动“飞矢不动”：飞着的箭在任何瞬间都是既非静止又非运动的。如果瞬间是不可分的，箭就不可能运动，因为如果它动了，瞬间就立即是可以分的了。但是时间是由瞬间组成的，如果箭在任何瞬间都是不动的，则箭总是保持静止。所以飞出的箭不能处于运动状态。芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的？” “那还用说，当然是动的。” “确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？” “有的，老师。” “在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？” “有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。” “那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？” “不动的，老师” “这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？” “也是不动的，老师” “所以，射出去的箭是不动的？” *** 队伍悖论 *** 队伍悖论是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论中的一个，属于芝诺悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论中最著名的两个是：“阿喀琉斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。这些 *** 现在可以用微积分（无限）的概念解释。首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。 □□□□□□□□ 观众席A ■■■■■■■■队列B……向右移动 ●●●●●●●● 队列C……向左移动初始状态: □□□□□□□□ ■■■■■■■■ ●●●●●●●● B、C两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席A，B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。 □□□□□□□□ ■■■■■■■■ ●●●●●●●● 而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。钱包悖论谎言者悖论 *** 论悖论辛普森悖论苏格拉底悖论书目悖论唐·吉诃德悖论

Q6：在数学中，有哪些非常有趣的悖论？

我觉得在没有外力影响下，物体就会保持静止或者匀速运动的状态，这是我觉得有点悖论的，因为不可能完全没有外力的影响，所以这个到底是不是真实的是没办法验证的。