有多少个实数？一个答案是“无限多”。因为康托证明了实数轴——，即连续统-——，不能与自然数一一对应，他可以得到更好的答案，“不可数倍数”。但是我们能更精确吗？Cantor介绍了一种度量无限 *** 个数的 *** ：使用Alev数。Alef是一个希伯来字母，Cantor用它来表示无限 *** 的数量(Alef " "这个数字在网页上打出来的次数不多)。他用这样的无限数(基数)、0(之一个无限基数，自然数集的个数)、1(之一个不可数基数)、2等分成所有无限集的个数。 像有限的自然数一样，无限的基数可以相加和相乘，但比自然数容易得多。
两个无限基数的乘法或加法等于两者中更大的一个。 瑞士科学家约翰海因里希兰伯特在1761年证明了是无理数，也就是说，它不能用两个整数之比来表示。1882年，林德曼证明了是一个超越数，即不能是任何整系数多项式的根。 圆周率的超越性否定了圆变方的可能性，这是一个古老的尺绘问题，因为所有尺绘只能得到代数数，而超越数不是代数数。 圆转方的问题，是指单位长度已知为1时，要 *** 的图片长度。这相当于用1 *** 图片。
但是，直尺能做的数z有对应的最小多项式。也就是说，有理数系数的多项式m，因此 然而，在1882年，林德曼等人证明圆周率图像不存在这样的多项式。所有的正则数都是代数数，不是，说明用尺子画图不可能把圆变成正方形。 林德曼证书的超越性使用了被称为林德曼-威尔斯特拉斯定理的结论。林德曼-魏斯特拉斯定理表明，在有理数域中，如果代数数的几个图像与图像线性无关，那么图像也与图像线性无关。 如果图片是代数数，那么图片也是代数数。考虑代数数0和图片，因为图片是无理数，所以与图片线性无关。但是图片和图片分别是1和-1，在图片中不是线性独立和矛盾的。 这说明图片不是代数数，而是超越数。
